東大・医大生が教える高校数学の勉強法

sugaku
大学受験の数学で苦労している人はとても多いはずです。

数学は入試でも、一部の得意な人を除いては「事前に予測ができない科目」と言われていますし、おそらく最も多くの理系受験生を悩ませる科目と言えるでしょう。

確かに数学は上げるのに時間がかかる科目です。すぐに結果が出る科目ではないので、粘り強く取り組む必要があります。しかし、正しいステップを踏んで行けば、上げていける科目です。

ここではその方法についてご紹介します。

1. 高校数学の進め方

1-1. 数学ⅠA

数学ⅠAは高校数学の基礎となる内容です。そのため、一見それほど難しい単元はありません。

とはいえ、2次関数は最初につまる人が出て来る単元です。また、場合の数・確率は難関大学の入試でも頻出単元です。樹形図を書く習慣をつけておきましょう。

1-2. 数学ⅡB

数学ⅡBは文系で数学受験する人にとってはもちろんですが、理系の人にとっても山場です。

たいていの理系受験生は「理系と言えば数学Ⅲ」というイメージがあると思います。それはそれで正しいのですが、数学Ⅲでつまる人の多くが実は数学ⅡBに穴がある場合がとても多いのです。

特に数列は数学Ⅲの極限と密接に関係しますし、三角関数や指数対数関数に穴があると数学Ⅲの微分積分でつまずきます。数学ⅡBの力が数学Ⅲを決めると言っても過言ではありません。

1-3.数学Ⅲ

理系の人にとっては言わずと知られた超重要分野ですね。

理系の場合、ほとんどの大学で(難関大学では特に)入試問題の半分以上が数学Ⅲから出題されています。

もちろん数学ⅠAⅡBのすべてを網羅していることが前提となりますが、それだけでは歯が立ちません。特別な勉強法によって「理系脳」を育てる必要があります。

ただ単に解法パターンを覚えるのではなく、「なぜそうなるのか?」という本質をとらえないと得点に結びつきません。この記事で紹介する良質な参考書・問題集によってその力を身につけて行きましょう。

また、数学Ⅲは実は計算力もすごく大切です。特に数学Ⅲの主要単元である積分では、問題を見てすぐに「部分積分か置換積分か、置換積分であればどう置き換えるか?」思いつかなければなりません。

そのためには相当な演習量が必要です。極限、微分の単元でもやはり演習量がモノを言います。「4-6. 計算力を上げるための勉強法」で紹介する計算用問題集によって計算演習を積みましょう。

2. 問題集の進め方

これから勉強法について説明していきますが、そのときに大切なのは「問題集をどう解き進めて行くか?」です。

同じ問題集を進めているのに個人差が出るのは、単純に理解力の差だけではありません。問題集の進め方に差があるのです。

理解力を変えるのは難しいですが、問題集の進め方を改善することは意識すれば簡単にできます。

その方法をフローチャートに書いてみましたので参考にしてみてください。

フローチャート-yama-big

次に一番大切な点です。

どの段階まで行けばその問題集を卒業してよいのでしょうか?

結論から言ってしまうと、「問題文のタイトルを隠して、ランダムで問題文を見たときに60秒以内に解法が思い浮かぶ」という段階です。

ほとんどの人は、問題集の初めから問題を解いて行っています。解法を身に着けて行く過程ではもちろんそれは正しいのですが、その際に「今はこの単元の問題を解いている」ということは把握しているはずなので、それによって解法の選択肢が限られています(意識していませんが)。

ただ、当然、模試や入試ではもちろん、問題があるだけで、易しい問題であれば式の形から単元は推定できるものの、難しい問題になるとパッと見では「どの単元なのか?」すらも分かりません。この違いは普段は意識しないですが、実は大きいんです。

さらに、問題集にはタイトルなどに解法のヒントが載っていたります。
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「問題集を3周して完璧にしたはずなのに、模試だと全然解けなかった」という人は、実は、このようなヒントの助けを借りて解けていることに無自覚なことが多いです。

そこで「この問題集をクリアできた」と思ったら、本当に「ランダムでも解けるのか?」を以下の方法を試してみてください。

  1. 問題タイトルにはシールを貼って隠しておく
  2. 解答・解説はもちろん隠す
  3. ランダムに開けて、出てきた問題について、解法を思い浮かぶか?」を頭の中で思い浮かべ、60秒以内に出ないものには赤い×をつけて行く

この方法で解ければ、模試でも結果が出て来るはずです。

3. レベル別勉強法

次に、レベルごとに勉強法を紹介して行きます。

ちなみに以下で書いてある偏差値というのは河合塾記述模試での偏差値を目安にしています。(あくまで目安です。悪しからず)

3-1.数学が苦手な人が偏差値50まで持っていくための勉強法

「数学が苦手」と言っても個人の主観もあります。

ここでのレベルの目安としては、教科書の例題を、解答を隠した状態で解いて行って、正答率が70%に満たない方向けです。

このレベルの方はまずは苦手意識を払う必要があります。そのためには易しい参考書を読み、それから問題を解いて行くのがよいでしょう。以下でおすすめする参考書をくり返しましょう。

3-1-1.オーソドックスパターン

基本レベルの参考書+問題集「これでわかる数学」を3周ほどして完璧にしましょう。

この参考書のポイント
  • 参考書+問題集なので、基本事項の説明→問題という形になっている
  • 基本事項の説明が教科書以上に丁寧で分かりやすい
この参考書の使い方

1.まず各章のはじめに書いてある説明を読んで行く

定義や公式の導き方など、大切な基礎知識が書いてあります。一つずつ納得することが大切です。読んでも今イチ頭に入らない場合は、自分の手を動かしてここにある変形ができるかを試してみましょう。

2.例題を解く

3. 問題集の進め方」に従って解いて行きましょう。

3.類題を解く

今度は「類題」を解きましょう。間違えた問題には×をつけて行きましょう。

4.章末問題を解いて、正答率をつけておく

各章の章末問題にある「定期テスト予想問題」をテストしてみましょう。この段階では時間制限はひとまず気にしなくてよいですが、〇×をつけて、正答率を表に記録しておきましょう。

得意な単元と苦手な単元をしっかりと把握しておくことが大切です。

5.解き直し

×のついた問題には、1章進むごとに解き直しましょう。

-問題集-
「これでわかる問題集」
この参考書のポイント

「これでわかる数学」の後に類題演習するのに効果的な問題集です。

  • 数学ⅠA:201題+入試問題にチャレンジ46題
  • 数学ⅡB:297題+入試問題にチャレンジ45題
  • 数学Ⅲ:174題+入試問題にチャレンジ32題
この参考書の使い方

かなりの分量があります。なので、全部やるというよりは、「これでわかる数学」で間違えた問題の類題をこちらで探して解くというやり方が効率的です。

以上がオーソドックスな方法です。

ただ、ここで紹介した「これでわかる数学」が合わない」という方もいると思います。その場合は下の「2-1-2. 上記の勉強法で挫折してしまった方は・・・」の方法を参考にしてみてください。

また、もし中学生でならう「連立1次方程式」や「1次関数グラフ」から怪しい、という場合は、「2-6.中学レベルからやりなおす際の勉強法」から始めてみてください。

3-1-2. 上記の勉強法で挫折してしまった方、時間のない方に向けた勉強法

3-1-1.オーソドックスパターン」で紹介した方法がオーソドックスな方法ですす。

しかし、問題数が多いため、中には「一つの単元に時間がかかってしまうので、前に解いた単元を忘れてしまう」「入試までの時間がないので、もっと問題数が少ない問題集で進めたい」という人もいるかもしれません。

その場合は以下の教材がオススメです。

「初めから解ける数学」
この参考書のポイント

初めからはじめる~」「元気が出る~」で有名なマセマ出版シリーズの問題集です。

説明が語り口調でしつこいほど説明してくれるのが特徴です。(その分、「うっとうしい」「情報量が多過ぎて読みにくい」と感じる方もいるかもしれません)

問題数は、数学ⅠAで140問、数学ⅡBで152問、数学Ⅲで126問と、数学の問題集としては少なめです。基礎を固めるには、繰り返し解いて解法を定着させることが大切です。そのためにはこの問題集は適量と言えるでしょう。

<進め方>

説明を読み込み、問題を解いて行きましょう。

以上を数学Ⅰ~数学Ⅲまでムラなく固めれば、難易度によりますが、記述模試で偏差値50までは到達するはずです。

「初めから解ける数学」は基本事項の説明をコンパクトにまとめています。そのため、「知識がなさすぎて、問題を解いても歯が立たない」「基本事項の説明をもっと読みたい」という人は、同じ作者が書いた下記の参考書を読みましょう。
「初めから始める数学」
この参考書のポイント

語り口調なので読み進めやすく、またしつこいほどの(!)注釈がついているので、ついていけなくなるということは少ないはずです。問題数は少ないので、これだけでは足りないでしょう。

<進め方>

基本事項を読み進めて行って、練習問題は手を動かし、まずは自力で解きましょう。そして間違えた場合は×をつけて1章終えるときに×の問題は解きなおしましょう。

3-2.偏差値50前後の人が60まで持って行くための勉強法

基礎知識は身についていて、教科書の例題レベルは解けるけれど、典型問題をマスターするにはまだ演習が必要な方向けです。

典型問題を網羅する問題集は次に紹介するどれかがよいでしょう。このレベルまでマスターすれば、MARCH、私大医学部中堅レベルまでは十分いけるでしょう。

ただ1点注意してもらいたいのは、「マスターする」が意味するところです。ここで言っている「マスターする」は、「ノーヒント&ランダムで問題だけ見てすぐに解法が思う浮かぶ」ということです。

頭から順番に解いて、しかも問題のタイトルでうっすらヒントがありつつ解けけている」という段階とは大きな開きがあります。この点はしっかり意識してください。

-問題集-
「青チャート」(レベル2~レベル3)
この参考書のポイント

言わずと知れた超定番問題集です。

青チャートだけで東大(理科一類・理科二類)に合格する人も旧帝大医学部に合格する人もいます。あらゆる志望校に対応できる超定番ですが、それだけに賛否両論あります。

  • 【よい意見】「ほとんどの入試問題は青チャートに類題が存在する」「青チャートだけやっていれば合格点を獲れない大学はない」
  • 【悪い意見】「解説が常人では思いつきにくく、唐突感がある」「問題数が多過ぎる」「章末のexerciseが急激にレベルが上がる」

いずれにしても、レベル2~レベル3だけであれば問題数も250~300問程度で特別多くないので、完璧にとけるように繰り返しましょう

「チェック&リピート」
この参考書のポイント

穴埋め問題が多く、センター試験や私大(医学部・薬学部)対策に適した問題集です。

  • ⅠA 269題
  • ⅡB  398
  • Ⅲ  278題
「チョイス新標準問題集(B問題)」
この参考書のポイント

B問題のみやれば100問程度なので、1周を早く終えられるのがよいところです。また、記述問題が中心で、国公立大学志望の方にはオススメです。問題数が少ないのも特徴です。

「フォーカスゴールド」(レベル2~レベル3)
この参考書のポイント

青チャートと似た構成で問題数もほぼ同じです。

知名度では青チャートに負けますが、実は、こちらにはあって青チャートにはない典型問題も多くあり、コラムで深い知識にも触れている点で良書です。

青チャートの類題を探す際の問題集として、あるいは青チャートを終わらせたけど「まだ青チャートレベルが不安」という方には向いています。

3-3.偏差値60前後の人が65まで持って行くための勉強法

このレベルの方は基本的な典型問題は解けますが、少しひねったタイプの問題だと、どう手を出すか困ってしまう傾向があります。

河合塾記述模試で言うと、小問集合は解けて大問の(1)(2)までは解ける段階まで達しているけれど、ここから(3)以降が解けない、という段階です。

そこで、実戦的な入試問題の演習を積みましょう。具体的には以下の教材がお薦めです。

「青チャート」(レベル4~レベル5)

レベル4~5の問題はひとひねりした応用問題が多いので、レベル2~3が完璧になってから着手する方が効率がよいでしょう。

「1対1対応の数学」
この参考書のポイント

プラスαの知識が豊富で、解法も美しく、別解も適度に載せてあります。

この本をきっかけに数学が好きになる人も多いシリーズです。下に載っている「演習題」のレベルが高いので、チャートと同様に例題で間違えた問題を演習題を解くのではなく、1周目は例題に徹した方がよいでしょう。

<進め方>

  • 1周目=例題のみ解く。1章終わるごとに、×のついた問題を解く。(また間違えた場合は×をもう一つ書いておく)
  • 2周目=×が2個ついた問題のみ解く(また間違えた場合は×をもう一つ書いておく)
  • 3週目=×が3個ついた問題+演習題を解いていく

その他、以下のような問題集もあります。

「理系のプラチカⅠAⅡB」「理系のプラチカⅢ」
この参考書のポイント
  • ⅠAⅡB:150題
  • Ⅲ:80題

と問題数の少なさが魅力です。

「理系数学 入試の核心~標準編~」
この参考書のポイント

ⅠAⅡBⅢ合わせて合計150題と少量ながら問題のチョイスにセンスが感じられ、加えて解説がとても丁寧で学術的です。典型問題は解法パターンの暗記で解けるようになったけれど、国公立大学の過去問レベルになると初見では手がでない人には一皮向けるためのおすすめの一冊です。

3-4.偏差値65前後の人が70以上まで持って行くための勉強法

このレベルまで到達した人は、典型問題はもちろん、ややひねった問題まで解ける段階に達しています。

ここから偏差値70越えを目指すためには、難関大(旧帝大など)の入試レベルの問題を演習して行く必要があります。

そのためには、下記の問題集がオススメです。

「理系数学 入試の核心~難関大編~」
この参考書のポイント

合計60題と少量ながら問題のチョイスにセンスが感じられ、加えて解説がとても丁寧で学術的です。難関大学を目指すにはもってこいの一冊と言えるでしょう。

「やさしい理系数学」
この参考書のポイント

タイトルとはそぐわないのですが、「むずかしい」問題がいっぱい集まっています。

3-5.中学レベルからやりなおす際の勉強法

中学レベルに抜けがある場合、例えば1次関数のグラフや絶対値の問題でつまる人の場合、中学の復習からやるべきです。具体的には以下の教材がお薦めです。

「くもんの高校入試完全攻略トレーニング①」
この参考書のポイント

中学数学の重要単元をコンパクトにまとめています。

4. 目的別勉強法

4-1.センター試験勉強法

センター試験の数学は特有のクセがあるので慣れる必要があります。

とは言っても、基礎が出来てない段階で演習しても意味はありません。70%以上を目指すには、少なくとも「3-1.数学が苦手な人が偏差値50まで持っていくための勉強法」はクリアしておく必要があります。

90%以上を目指すのであれば「3-2.偏差値50前後の人が60まで持って行くための勉強法」まで卒業しておく必要があります。

9月までは基礎をしっかり固めることに専念して、センター対策を始めるのは10月からでよいでしょう。

順番としては、まずは「マーク問題集(河合出版)」を3回分解いてみましょう。

そこでの得点率を問題ごとに算出し、苦手な単元を見極めます。

この時点で100%の単元については特に対策は不要です。100%に満たない単元については、単元ごとに以下を進めて行きましょう。

【10月】

「短期攻略センター数学ⅠA(基礎編)」「短期攻略センター数学ⅡB(基礎編)」
この参考書のポイント

基礎的な内容です。と言っても基本公式の確認もできますし、一部については(易しいものを中心に)導出も載っています。苦手な単元についてこちらを解き進めていけば相当な力がつくはずです。

<進め方>

1日3テーマずつ進めて行って1か月で1周が終わります。

【11月】

短期攻略センター数学ⅠA(実戦編)」「短期攻略センター数学ⅡB(実戦編)
この参考書のポイント

基礎的な内容です。と言っても基本公式の確認もできますし、一部については(易しいものを中心に)導出も載っています。苦手な単元についてこちらを解き進めていけば相当な力がつくはずです。

4-2.医学部勉強法

医学部受験生も、基礎ができていないことには始まりません。

まずは「3-1.数学が苦手な人が偏差値50まで持っていくための勉強法」→「3-2.偏差値50前後の人が60まで持って行くための勉強法」を実践してみてください。

それが完璧になったら、それから医学部対策をして行きましょう。

医学部は学校によって問題のクセがあります。特に私大は、大きく分けて2タイプあります。国公立大学に近い記述型と、スピード重視のマーク型です。この二つはタイプが大きく異なります。

そのためには遅くとも11月から、早ければ10月から過去問演習に入るとよいでしょう。

10月までに行うべきことは、河合塾記述模試で偏差値60を越えていない方(多くの方がこれに当てはまるはずです)は基礎を固めるべく、「2-2.偏差値50前後の人が60まで持って行くための勉強法」の密度を上げていくべきでしょう。

偏差値60を越えている方については以下のような医学部用実戦問題集に着手するとよいでしょう。

「医学部への数学」(駿台文庫)

国公立大学の過去問を用いて50の解法を紹介しています。国公立大学や上位私大医学部を目指す方には重要な武器となるでしょう。

「医学部攻略の数学ⅠA2B」
「医学部攻略の数学Ⅲ」(河合出版)
「医学部良問セレクト77」

4-3.東大勉強法

東大対策に入る前に、まずは「2-3.偏差値60前後の人が65まで持って行くための勉強法」は終えておく必要があります。

それから東大対策に取りかかるのが正しい順番です。開始する時期ですが、8月の夏休み中に取りかかれるととてもよいペースですが、まだ基礎ができていない人は8月で基礎を固めて、9月から東大対策を開始できるとよいでしょう。

「東大数学で1点でも多く取る方法」

東大の記述問題では部分点が合否を分けます。部分点を1点でも多くとるための答案作成へのヒントがつまった一冊です。

「鉄緑会東大数学問題集 資料・問題篇/解答篇」

10年分の過去問が収録されている。<発想力><計算量><論理性><時間>の4項目による分析や指針、別解、注釈、実戦上の注意点など、1つの問題を深く味わうための記述が多いです。

東大志望者は高3の8月からこれに取り掛かれると理想的です。もちろん基礎がない状態でやっても効果は薄いので、最低でも「3-3.偏差値60前後の人が65まで持って行くための勉強法」、できれば「3-4.偏差値65前後の人が70以上まで持って行くための勉強法」を終えてから取りかかってください。

4-4. 苦手分野を補強するための勉強法

模試の成績表を見れば苦手分野がわかります。

あるいは、自分で問題集を解き進める場合でも、×の数/問題数を計算すれば、苦手単元が見つかるはずです。そして、それを克服することで模試の成績は上がり、合格に近づいていきます。

「細野真宏の確率がわかる本」

かみくだいて説明してくれているので、解説が分かりにくいということはないでしょう。少なくとも典型

問題は解けるようになるはずです。

4-5. 計算力を上げるための勉強法

数学は計算を早く、正確に行うことが基本となります。もちろん論理の整合性、正しい答案を作ることも大切ですが、計算力がないことには実際の入試では点数は取れません。

例えば、センター試験では、正しい答案がなくても点数は取れますが、早く正しい計算ができないことには決して点数は伸びません。

また、数学Ⅲは、実は計算力の部分が非常に大きなウェイトを占めます。

「『3-1.数学が苦手な人が偏差値50まで持っていくための勉強法』をちゃんとやったはずのに、模試で結果が出ない!」という方は、多くの場合、計算に原因があります。計算が不正確だと、模試ではミスでポロポロと失点してしまい、点数は伸びません。

計算が遅いと時間が足りなくなってしまいます。計算の演習量を増やしましょう。

「計算力トレーニング(上・下)」

通分や平方根といった中学数学の計算から、積分計算まで載っているので、「中学数学の計算から自信がない」という人でも復習しやすいです。

「カルキュール数学」

計算問題がメインですが、ついでに典型問題もつまっていてボリュームもかなりあります。

学校配布問題集には所謂「ドリル本」(4STEPやクリアー数学など)は多いのですが、解答のみで解説は配られないケースがほとんどです。

そんな中でこの「カルキュール」は市販で入手でき、解説もついている稀有なドリル本です。「計算が遅い」「計算ミスが多い」方はぜひこの本で演習を積みましょう。

「合格る計算」

計算するときに着目するべきポイントを「ここがツボ」という形で載せてくれています。特に数学Ⅲの極限や積分の計算では計算のスピードと正確性がものをいうので、計算力を上げる必要があります。

この本は式を見たときにどこ着目して、どのように計算していけばよいかを丁寧に書いてあるので、計算力を上げたい受験生にはとてもよい本と言えるでしょう。

5.なぜか結果が出ない人のチェックポイント

「上記の方法で進めてきたけど、なぜか模試で結果が出ない」という人がいます。

英語が単語の意味や文法のルールを覚えていれば読めるのと違って、数学は同じ問題は出ないので、問題集の問題が解けることと、模試や入試で正解できることとはギャップがあります。

そのギャップを埋めるのに有効な方法をお伝えします。以下の質問についてチェックしてみてください。

1.間違えた問題について原因分析と記録をしていますか?

間違えた問題については原因分析をして記録しておくようにしましょう。間違えた原因を自分の言葉として正確に把握していれば次に改善することがしやすいですし、苦手な単元を正確に把握していれば、その単元については、特に演習問題を多くすれば克服できるはずです。

具体的な方法は、このすぐ後の「6.間違い分析ノートの作り方」で紹介します。

2.問題文のタイトルを隠してランダムで問題文を見て60秒以内に解法が思い浮かびますか?

2回目以降に解く問題については「問題を見て、じっくり考えて解ける」というのはNGです。2回目以降は、「60秒以内に解法が思い浮かぶ」というのを目指しましょう。

6. 間違い分析ノートの作り方

これまで多くの受験生を見てきましたが、数学に伸び悩んでいる方の多くに次のような傾向がありました。

とにかく演習量をこなそうと焦るあまり、間違いの分析がおろそかになっている

「問題集を何周もしている」「基礎→応用と2冊以上終わらせている」という、本来であれば結果が出るはずなのに伸び悩んでいる方には共通して上記のような傾向があります。

これは実は解きっぱなしになっていて、自分の間違えた原因について分析が不十分なのです。そこで、間違えた問題については、自分なりのコメントを書くクセをつけるとよいでしょう。

「三角関数の合成ができなかった」「円の接線問題で直線と点の距離の公式が思いつかなかった」のように、自分で間違えた原因を分析してコメントを書くと、何を改善して行けば解けるのか?自然と見えるようになってきます。

ノートに表をかいてもよいですし、Excelを使える方は、Excelファイルに書いて行くと見やすいでしょう。

サンプルを添付しておきますので、参考にしてください。

間違い分析シート-1(圧縮)

ちなみに、この間違い分析ノートは計算ミスを減らすにも有効です。

計算ミスが多い方は、実はその原因を正確に把握することなく、「計算ミスが多い」という曖昧な分析で済ませてしまっています。

この程度の分析では計算ミスを減らすことはできません。

そこから一歩踏み込んで、自分で計算ミスの種類を細かく観察→分析すれば、「移項のときに符号を間違える」「3次式以上で項が5個以上でてきたときに足し算を間違える」といった具体的な形が見えてきます。

それをしっかり記録して行くことで、自分で意識するようになるので、計算ミスは減らせるはずです。

7. まとめ

大学受験の数学は伸びるまで時間がかかりますし、安定してよい結果を出すのが難しい科目です。

ただ、正しいステップを踏んで行けば必ず一定のレベルまで上がります。

この記事で紹介した勉強法を採り入れて、数学が苦手な人は足を引っ張らない段階まで、現時点で数学が嫌いではない人は、得意科目にして行きましょう。

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