どこよりもよくわかるフィボナッチ数列の一般項の解法について

フィボナッチ数列とは1、1、2、3、5、8、13 ...というように「前の2つの数を足したものが次の数になる」という規則に基づいている数列です。

フィボナッチ数列は後に説明する黄金比と深い関係があり、自然界に密接に関係のある数列です。一般的に、フィボナッチ数列の一般項を求めることは難しいとされていますが、ここでは、フィボナッチ数列の一般項の求め方を誰でも簡単に理解できるように説明します。

また、フィボナッチ数列の発展的な話題として、黄金比についても説明しますので興味のある方は参考にしてみてください。

1 一般的な三項間漸化式の解き方

フィボナッチ数列の一般項の求めるのには三項間漸化式を解けるようになることが重要です。三項間漸化式を解けるようになることがフィボナッチ数列の一般項を求められるようになる近道です。

また、フィボナッチ数列の一般項の求め方には様々な方法がありますが、ここでは一番オーソドックスな解き方を説明することとします。

フィボナッチ数列とは$ a_{n+2}=a_{n+1}+a_n$という漸化式と、 第一項と第二項がそれぞれ$ a_1=1$、$ a_2=1 $によって与えられる数列です。$ a_{n+2}=pa_{n+1}+qa_n$という形の漸化式を一般に「三項間漸化式」といいます。フィボナッチ数列の一般項を求めるには三項間漸化式と解くことになります。

フィボナッチ数列は三項間漸化式において$ p=q=1 $とした場合なのですが、実は計算が大変です。まずは三項間漸化式の中でも計算が簡単な場合を考えてみます。

1-1 三項間漸化式の解き方の流れ

漸化式を学習し始めた際、$ a_{n+1}=pa_n+q $の形をした「二項間漸化式」を勉強したと思います。一般的に、漸化式を解くときは与えられた漸化式を$ a_{n+1}=ra_n $の形、すなわち、等比数列を与える漸化式に式変形することが重要でした。

$ p=1 $の場合はこの漸化式は等差数列を表しています。以下$ p\neq 1 $と仮定しておきます。

二項間漸化式の場合は、式変形をするためのヒントとして漸化式において$ a_{n+1}とa_n $を$c$におきかえた特性方程式$ c=pc+q$を考えました。

これを$c$について解くと$c=\dfrac{r}{1-p}$となるので、$\begin{align*}pa_{n+1}=qa_n+r\Leftrightarrow a_{n+1}-c=p(a_n-c)\end{align*}$と式を変形することができます。

そこで$ b_n=a_n-c $と置くことで、この式は$b_{n+1}=pb_n$と直すことができます。これは等比数列を表す漸化式です。

数列$\{b_n\}$の一般項は簡単に求められ、$ b_n=a_n-c $より$a_n=b_n+c$なので、こうして二項間漸化式の一般項を求めることができるのでした。

同様のことを三項間漸化式の場合も考えることで、その一般項を求めることができます。詳しいことは追って説明しますが、三項間漸化式の一般項を求める手順は次の通りです。

■三項間漸化式の解き方
1.特性方程式を解く
2.特性方程式の解をヒントに与えられた漸化式を
「等比数列」型の漸化式に式を変形する。
3.式を整理して一般項を求める。

三項間漸化式$ a_{n+2}=pa_{n+1}+qa_n $において$a_{n+2}$を$c^2$に、
$a_{n+1}$を$c$に、$a_nを$1$に$おきかえてできる二次方程式$c^2=pc+q$が三項間漸化式の特性方程式になります。二次方程式の解は次のいずれかに分類できるのでした。

◎二次方程式の解の種類
1.相異なる2つの実数解をもつ
2.1つの実数解をもつ(重解)
3.相異なる2つの複素数解をもつ

フィボナッチ数列の特性方程式を解いた場合、$ c=\dfrac{1\pm \sqrt{5}}{2} $となるので、今回は三項間漸化式の特性方程式が相異なる2つの実数解をもつ場合の例を考えていきたいと思います。以下、三項間漸化式$a_{n+2}=5a_{n+1}-6a_n、a_1=1、a_2=1$を例に考えてみたいと思います。

1-2 特性方程式を解く

三項間漸化式$a_{n+2}=5a_{n+1}-6a_n$の特性方程式は$c^2=5c-6$です。すなわち、$c^2-5c+6=0$なのでこれを解くと$c=2、3$となります。

1-3 与えられた漸化式を「等比数列」型の漸化式に変形する

三項間漸化式$ a_{n+2}=pa_{n+1}+qa_n$の特性方程式の解が相異なる2つの実数解、$c=\alpha、\beta$であった場合、

$$ a_{n+2}=pa_{n+1}+qa_n\Leftrightarrow\begin{cases}a_{n+2}-\alpha a_{n+1}=\beta(a_{n+1}-\alpha a_n) \\a_{n+2}-\beta a_{n+1}=\alpha(a_{n+1}-\beta a_n)\end{cases} $$と変形できることが知られています。

$a_{n+2}=5a_{n+1}-6a_n$の特性方程式の解は$c=2、3$であったので、この漸化式は$$\begin{cases}a_{n+2}-2a_{n+1}=3(a_{n+1}-2a_n) \\a_{n+2}-3a_{n+1}=2(a_{n+1}-3a_n)\end{cases}$$
と式変形できます。

ここで$b_n=a_{n+1}-2a_n、c_n=a_{n+1}-3a_n$とおいてみると
$$\begin{cases}b_{n+1}=3b_n\\c_{n+1}=2c_n\end{cases}$$ となり、これらは「等比数列」型の漸化式です。

$a_1=1、a_2=1$より、$$\begin{cases}b_1=a_2-2a_1=1-2=-1\\c_1=a_2-3a_1=1-3=-2\end{cases}$$と、数列$\{b_n\}と数列\{c_n\}$の初項を求めることができました。

よって数列$\{b_n\}$は初項$-1$、公比$3$の等比数列なので$b_n=-3^{n-1}$、数列$\{c_n\}$は初項$-2$、公比$2$の等比数列なので$c_n=-2^n$となります。

1-4 式を整理して一般項を求める。

数列$\{b_n\}の一般項はb_n=-3^{n-1}、数列\{c_n\}の一般項はc_n=-2^n$であることはわかりました。

さて、$b_n=a_{n+1}-2a_n、c_n=a_{n+1}-3a_n$より、$$\begin{cases}b_n=a_{n+1}-2a_n=-3^{n-1}\\c_n=a_{n+1}-3a_n=-2^n\end{cases}$$であることがわかります。

上の式から下の式を引くと$$b_n-c_n=a_n=-3^{n-1}+2^n$$となり、$a_n$を求めることができます。

このようにして、三項間漸化式を解く、すなわち、三項間漸化式で表される数列の一般項を求めることができました。

2 フィボナッチ数列の一般項を求め方

先ほどは三項間漸化式の中でも計算が簡単な場合を扱いました。フィボナッチ数列の一般項を求める場合、先ほどの漸化式を解くのと手順は全く変わりません。ただ、計算が面倒になるので、計算ミスがないように気をつける必要があります。ここで三項間漸化式の解き方を復習しましょう。

■三項間漸化式の解き方
1.特性方程式を解く
2.特性方程式の解をヒントに与えられた漸化式を「等比数列」型の漸化式に式を変形する。
3.式を整理して一般項を求める。

2-1 特性方程式を解き漸化式を変形する

フィボナッチ数列の漸化式$ a_{n+2}=a_{n+1}+a_n$の特性方程式は$a_{n+2}\rightarrow c^2、a_{n+1}\rightarrow c、a_n\rightarrow 1$と置き換えてあげてできる二次方程式$c^2=c+1$になります。

この二次方程式の解は$ c=\dfrac{1\pm \sqrt{5}}{2} $となります。

このままでは計算が大変なので、$\alpha=\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}、\beta=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}$とおいてみます。このような複雑な数を含む計算をする場合は置き換えが非常に有効です。

さて、フィボナッチ数列の漸化式の特性方程式の解は$\alpha、\beta$なので、$$ a_{n+2}=a_{n+1}+a_n\Leftrightarrow\begin{cases}a_{n+2}-\alpha a_{n+1}=\beta(a_{n+1}-\alpha a_n) \\a_{n+2}-\beta a_{n+1}=\alpha(a_{n+1}-\beta a_n)\end{cases} $$と変形することができます。

2-2 式を整理してフィボナッチ数列の一般項を求める

いま、$b_n=a_{n+1}-\alpha a_n、c_n=a_{n+1}-\beta a_n$と置き換えると、$$\begin{cases}b_{n+1}=\beta b_n\\c_{n+1}=\alpha c_n\end{cases}$$となり、

これらは「等比数列」型の漸化式です。

また$a_1=1、a_2=1$より、$$\begin{cases}b_1=a_2-\alpha a_1=1-\alpha\\ c_1=a_2-\beta a_1=1-\beta\end{cases}$$と、数列$\{b_n\}と数列\{c_n\}$の初項を求めることができました。

よって数列$\{b_n\}$は初項$1-\alpha$、公比$\beta$の等比数列なので$b_n=(1-\alpha)\beta^{n-1}$、数列$\{c_n\}$は初項$1-\beta$、公比$\alpha$の等比数列なので$c_n=(1-\beta)\alpha^{n-1}$となります。

ところで、$\alpha=\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}、\beta=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}$であったので、$$1-\alpha=1-\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}=\beta$$$$1-\beta=1-\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}=\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}=\alpha$$となります。

よって$b_n=(1-\alpha)\beta^{n-1}$より$b_n=\beta^n$、$c_n=(1-\beta)\alpha^{n-1}$より$c_n=\alpha^n$となります。

ところで、$b_n=a_{n+1}-\alpha a_n、c_n=a_{n+1}-\beta a_n$だったので、$$\begin{cases} \beta^n=b_n=a_{n+1}-\alpha a_n\\\alpha^n=c_n=a_{n+1}-\beta a_n\end{cases}$$先ほどと同様に上の式から下の式を引くと$\beta^n-\alpha^n=-\alpha a_n+\beta a_n=(\beta-\alpha)a_n$となります。

したがって一般項$a_n$は$$a_n=\dfrac{1}{\beta-\alpha}\left( \beta^n-\alpha^n\right) $$です。

いま、$\alpha=\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}、\beta=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}$であったので、この式は$$a_n=\dfrac{1}{\sqrt{5}}\left\{\left(\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^n-\left(\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^n \right\} $$となおすことができ、このようにしてフィボナッチ数列の一般項が求められました。

■フィボナッチ数列の一般項を求め方まとめ
1.三項間漸化式とみて解く。その際、計算をおこないやすいよう、特性方程式の解を$\alpha 、\beta$とおく。
2.「等比数列」型の漸化式が出てくるよう式を変形する
3.$a_{n+1}$を消去して一般項$a_n$を求める

以上の1、2でフィボナッチ数列の一般項の求め方については大丈夫です。さらにもっと発展的な内容について知りたい方は3以降を読んでください。

3 自然界に現れるフィボナッチ数列―黄金比―

この章ではフィボナッチ数列と関係の深い黄金比について扱います。やや発展的な内容で、大学入試で問われることは少ないですが、フィボナッチ数列についてよりもっと詳しいことが知りたい!という方は読み進めていってください。

黄金比はフィボナッチ数列と深い関係があり、またこの黄金数は自然界と密接に関わっていると言われています。

実際に、ひまわりの種の配列(並び順)やオウムガイの殻の渦巻きはどちらもランダムなものではなく、フィボナッチ数列に基づいて形成されたものであるといわれています。黄金比は自然界によく出現する比であることから「美しい比」であるといわれています。

実際、ギリシャのパルテノン神殿、ミロのビーナス、葛飾北斎の富嶽三十六景には黄金比が登場しています。確かに、いずれの作品も美しいですよね。黄金比とは何か、探っていきましょう。

3-1 黄金比(黄金数)とは

黄金比は「美しい比」であると紹介しました。これを数学的に考えていきます。

$1:x=x:(1+x)$を満たすような$x$を黄金数といいます。$1:x=x:(1+x)$は$x^2-x-1=0$と変形することができ、この二次方程式の解は$\dfrac{1\pm\sqrt{5}}{2}$となります。
ここで$2<\sqrt{5}<3$より$\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}$は負の数になってしまい、直線で比を表すことができません。
一般には$x=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}$を黄金数と呼びます。

黄金数を用いた比、$1:\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}$を黄金比といいます。黄金数は通常$\phi$で表されることが多く、この場合黄金比は$1:\phi$と表されます。

ちなみに、$\sqrt 5=2.236…$より黄金数の近似値は$\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}=1.618$となります。

3-2 黄金比と三角比の関係

$\cos36^\circ$は黄金比と深い関係があります。この$36^\circ$は正五角形のすべての対角線を結んだときに現れる星形の一つの鋭角の大きさを表しています。

いま、$36\times 5=180$より$\sin(36^\circ\times2)=\sin(180^\circ-36^\circ\times2)=\sin(36^\circ\times 3)$です。

ここで上の式の左辺に二倍角の公式$\sin2\theta=2\sin\theta\cos\theta$、右辺の式に三倍角の公式$\sin3\theta=-4\sin^3\theta+3\sin\theta$を用いることで、

$\begin{align*}&2\sin36^\circ\cos36^\circ=3\sin36^\circ-4\sin^336^\circ\\ &\Leftrightarrow4\sin^336^\circ+2\sin36^\circ\cos^\circ-3\sin36^\circ=0\\&\Leftrightarrow \sin36^\circ(4\sin^236^\circ+2\cos36^\circ-3) =0\\&\sin36^\circ\neq 0 より\\&4\sin^236^\circ+2\cos36^\circ-3=0\\&4(1-\cos^236^\circ)+2\cos36^\circ-3=0\\&-4\cos^236^\circ+2\cos36^\circ+1=0\\&4\cos^236^\circ-2\cos36^\circ-1=0\end{align*} $

が成立していることがわかります。

ここで、$\cos36^\circ=x$とおくと、$4x^2-2x-1=0$です。この二次方程式の解は$x=\dfrac{1\pm\sqrt 5}{4}$です。

さて、$0^\circ<36^\circ<90^\circ$より$0<\cos36^\circ<1$なので$\cos36^\circ=\dfrac{1+\sqrt 5}{4}$です。
黄金数は$\phi=\dfrac{1+\sqrt 5}{2}$だったので、$2\cos36^\circ=\phi$が成立します。
ここで、$\cos36^\circ=x$とおくと、$4x^2-2x-1=0$です。

この二次方程式の解は$x=\dfrac{1\pm\sqrt 5}{4}$です。

さて、$0^\circ<36^\circ<90^\circ$より$0<\cos36^\circ<1$なので$\cos36^\circ=\dfrac{1+\sqrt 5}{4}$です。

黄金数は$\phi=\dfrac{1+\sqrt 5}{2}$だったので、$2\cos36^\circ=\phi$が成立します。

ここで二倍角の公式$\cos2\theta=2\cos^2\theta-1$を思い出すと$2\cos72^\circ=4\cos^236^\circ-2=\phi^2-2$です。

ここで黄金数$\phi=\dfrac{1+\sqrt 5}{2}$はフィボナッチ数列の特性方程式$c^2-c-1=0$の解の一つであったことから、$\phi^2-\phi-1=0$を満たすので、$\phi^2=\phi+1$です。

ゆえに$2\cos72^\circ=(\phi+1)-2=\phi-1=\dfrac{-1+\sqrt 5}{2}$です。$\phi の逆数\phi^{-1}$を考えてみると、$\phi^{-1}=\dfrac{2}{1+\sqrt 5}=\dfrac{2\times(1-\sqrt 5)}{(1+\sqrt 5)(1-\sqrt 5)}=\dfrac{-1+\sqrt{5}}{2}$なので、$2\cos72^\circ=\phi^{-1}$です。

さらに、三倍角の公式$\cos3\theta=4\cos^3\theta-3\cos\theta$を用いれば、

$\cos108^\circ=4\cos^336^\circ-3\cos36^\circ=\cos36^\circ(4\cos^236^\circ-3)=\dfrac{\phi}{2}(\phi^2-3)=\dfrac{\phi}{2}\{(\phi+1)-3\}=\dfrac{\phi(\phi-2)}{2}=\dfrac{\phi^2-2\phi}{2}=\dfrac{(\phi+1)-2\phi}{2}=\dfrac{1-\phi}{2}$

が成立します。

正五角形の一つのない角の大きさは$108^\circ$であり、また正五角形のすべての対角線を結ぶと$36^\circ、72^\circ$といった角度をもつ角が現れます。

このように黄金数と正五角形は深い関係があることがわかります。

4 フィボナッチ数列の極限

フィボナッチ数列$\{a_n\}$の隣り合う二項の比は黄金数に収束します。つまり、$\displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty}\dfrac{a_{n+1}}{a_n}=\phi$となります。
なぜなら、$\displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty}\dfrac{a_{n+1}}{a_n}=x$とおき、
フィボナッチ数列の漸化式$a_{n+2}=a_{n+1}+a_n$を用いると、

$\begin{align*}x&=\lim_{n\rightarrow\infty}\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\\&=\lim_{n\rightarrow\infty}\dfrac{a_{n-1}+a_n}{a_n}\\&=\lim_{n\rightarrow\infty}\dfrac{a_{n-1}}{a_n}+1\\&=\dfrac{1}{\displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty}\dfrac{a_n}{a_{n-1}}}+1\\&=\dfrac{1}{x}+1\end{align*}$

すなわち$x^2=1+x、x^2-x-1=0$を得ます。

この二次方程式を解くとその解は$\dfrac{1\pm\sqrt 5}{2}$です。

ここでフィボナッチ数列の項はみな正の数であるので$x>0$に注意すれば、$x=\dfrac{1+\sqrt 5}{2}=\phi$となります。

したがって$\displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty}\dfrac{a_{n+1}}{a_n}=\phi$となり、フィボナッチ数列$\{a_n\}$の隣り合う二項の比は黄金数に収束することがわかりました。

以上からわかるように、黄金数はフィボナッチ数列と深く関係していることがわかります。言い換えれば、「美しい比」とされる黄金比にはフィボナッチ数列が隠れていると言えるのです。

5 フィボナッチ数列をさらに知ることができる本

フィボナッチ数列についてしっかり書かれた本は意外と少なく、高校の数学の参考書でも、一般項を求めることまでしか書かれていない場合がほとんどです。

大学入試の対策としては今回紹介した内容さえしっかり理解できれば十分ですが、さらにもっと知りたい!数学の力をもっと伸ばしたい!という方にお薦めの本を紹介します。また、数学以外に苦手科目がある人はそちらを優先してください。

5-1 『数列の集中講義 (教科書Next) 』東京出版編集部 著

この本はフィボナッチ数列を単独の章で取り扱っている唯一の高校数学の参考書です。ここでは紹介できなかったフィボナッチ数列の性質や、フィボナッチ数列の階差数列などについて詳しく書かれています。

また、フィボナッチ数列についての記述も多く、また問題形式になっているので、今回紹介したフィボナッチ数列を復習し、もう一度丁寧に勉強したい方はこの本を買うといいでしょう。

5-2 『高校数学+α:基礎と論理の物語』宮腰 忠 著

この本はフィボナッチ数列についてはもちろん、ここでは紹介しなかった黄金角についても扱っています。植物の葉は黄金角に基づいて生えていくといわれています。このことについての記述が大変詳しいです。

そのため,フィボナッチ数列についてイメージがもてなかった人にはこの本がぴったりです。この本は問題を解く、というよりもむしろ読み物なので、どんどん問題を解きたい!という人には向きません。

5-3 『総合的研究 数学II+B (高校総合的研究)』長岡 亮介 著

この本の例題734に黄金数の連分数展開についての問題があります。黄金数の連分数展開について知りたい人はこの本を購入するといいでしょう。

6 まとめ

その1.三項間漸化式の解き方
―1.特性方程式を解く。
―2.特性方程式の解をヒントに与えられた漸化式を「等比数列」型の漸化式に式を変形する。
―3.式を整理して一般項を求める。

その2.フィボナッチ数列の一般項の求め方
―1.フィボナッチ数列の漸化式を三項間漸化式とみて解く。その際、計算をおこないやすいよう、特性方程式の解を$\alpha 、\beta$とおいて計算していく。
―2.「等比数列」型の漸化式が出てくるよう式を変形する。
―3.$a_{n+1}$を消去して一般項$a_n$を求める。

その3.黄金比
―1.黄金比は「美しい比」とされ、自然界はもちろん、美術作品にも用いられている。
―2.$\phi=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}$を黄金数と呼び、これは$1:\phi=\phi:(1+\phi)$を満たし、$1:\phi$は黄金比といわれる。
―3.$\cos36^\circ=\dfrac{\phi}{2}$、$\cos72^\circ=\dfrac{\phi^{-1}}{2}$、$\cos108^\circ=\dfrac{1-\phi}{2}$であることからわかるように正五角形は黄金比と深い関係がある図形である。
―4.フィボナッチ数列$\{a_n\}$の隣り合う二項の比は黄金数に収束します。つまり、$\displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty}\dfrac{a_{n+1}}{a_n}=\phi$となる。これからわかるように、「美しい比」とされる黄金比にはフィボナッチ数列が隠れていると言える。

ここで紹介した三項間漸化式やフィボナッチ数列の漸化式、黄金比は大学入試でたびたび出題されています。この手の問題は一度経験しているかどうかで本番では大きな差につながります。

今回紹介した内容をしっかり理解し、何も見ずに自分の手で再現することができるようになれば、大学入試でフィボナッチ数列の問題が出題されても大丈夫でしょう。そのためには繰り返し自分の手を動かして考えることが大切です!

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